Toán hữu hạn Ví dụ

$\frac{4}{y + 2} - \frac{2}{y - 4} = \frac{6}{y + 6}$

Bước 1

Tìm mẫu số chung nhỏ nhất của các số hạng trong phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Tìm MCNN của các giá trị cũng giống như tìm BCNN của các mẫu số của các giá trị đó.

$y + 2, y - 4, y + 6$

Bước 1.2

BCNN là số dương nhỏ nhất mà tất cả các số chia đều cho nó.

1. Liệt kê các thừa số nguyên tố của từng số.

2. Nhân mỗi thừa số với số lần xuất hiện nhiều nhất của nó ở một trong các số.

Bước 1.3

Số $1$ không phải là một số nguyên tố vì nó chỉ có một thừa số dương, cũng là chính nó.

Không phải là số nguyên tố

Bước 1.4

BCNN của $1, 1, 1$ là kết quả của việc nhân tất cả các thừa số nguyên tố với số lần lớn nhất chúng xảy ra trong cả hai số.

$1$

Bước 1.5

Thừa số cho $y + 2$ là chính nó $y + 2$ .

$(y + 2) = y + 2$

$(y + 2)$ xảy ra $1$ lần.

Bước 1.6

Thừa số cho $y - 4$ là chính nó $y - 4$ .

$(y - 4) = y - 4$

$(y - 4)$ xảy ra $1$ lần.

Bước 1.7

Thừa số cho $y + 6$ là chính nó $y + 6$ .

$(y + 6) = y + 6$

$(y + 6)$ xảy ra $1$ lần.

Bước 1.8

BCNN của $y + 2, y - 4, y + 6$ là kết quả của việc nhân tất cả các thừa số với số lần lớn nhất chúng xảy ra trong cả hai số hạng.

$(y + 2) (y - 4) (y + 6)$

Bước 2

Nhân mỗi số hạng trong $\frac{4}{y + 2} - \frac{2}{y - 4} = \frac{6}{y + 6}$ với $(y + 2) (y - 4) (y + 6)$ để loại bỏ các phân số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Nhân mỗi số hạng trong $\frac{4}{y + 2} - \frac{2}{y - 4} = \frac{6}{y + 6}$ với $(y + 2) (y - 4) (y + 6)$ .

$\frac{4}{y + 2} ((y + 2) (y - 4) (y + 6)) - \frac{2}{y - 4} ((y + 2) (y - 4) (y + 6)) = \frac{6}{y + 6} ((y + 2) (y - 4) (y + 6))$

Bước 2.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung $y + 2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1.1.1

Đưa $y + 2$ ra ngoài $(y + 2) (y - 4) (y + 6)$ .

$\frac{4}{y + 2} ((y + 2) ((y - 4) (y + 6))) - \frac{2}{y - 4} ((y + 2) (y - 4) (y + 6)) = \frac{6}{y + 6} ((y + 2) (y - 4) (y + 6))$

Bước 2.2.1.1.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{4}{y + 2} ((y + 2) ((y - 4) (y + 6))) - \frac{2}{y - 4} ((y + 2) (y - 4) (y + 6)) = \frac{6}{y + 6} ((y + 2) (y - 4) (y + 6))$

Bước 2.2.1.1.3

Viết lại biểu thức.

$4 ((y - 4) (y + 6)) - \frac{2}{y - 4} ((y + 2) (y - 4) (y + 6)) = \frac{6}{y + 6} ((y + 2) (y - 4) (y + 6))$

Bước 2.2.1.2

Khai triển $(y - 4) (y + 6)$ bằng cách sử dụng Phương pháp FOIL.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1.2.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$4 (y (y + 6) - 4 (y + 6)) - \frac{2}{y - 4} ((y + 2) (y - 4) (y + 6)) = \frac{6}{y + 6} ((y + 2) (y - 4) (y + 6))$

Bước 2.2.1.2.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$4 (y \cdot y + y \cdot 6 - 4 (y + 6)) - \frac{2}{y - 4} ((y + 2) (y - 4) (y + 6)) = \frac{6}{y + 6} ((y + 2) (y - 4) (y + 6))$

Bước 2.2.1.2.3

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$4 (y \cdot y + y \cdot 6 - 4 y - 4 \cdot 6) - \frac{2}{y - 4} ((y + 2) (y - 4) (y + 6)) = \frac{6}{y + 6} ((y + 2) (y - 4) (y + 6))$

Bước 2.2.1.3

Rút gọn và kết hợp các số hạng đồng dạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1.3.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1.3.1.1

Nhân $y$ với $y$ .

$4 (y^{2} + y \cdot 6 - 4 y - 4 \cdot 6) - \frac{2}{y - 4} ((y + 2) (y - 4) (y + 6)) = \frac{6}{y + 6} ((y + 2) (y - 4) (y + 6))$

Bước 2.2.1.3.1.2

Di chuyển $6$ sang phía bên trái của $y$ .

$4 (y^{2} + 6 \cdot y - 4 y - 4 \cdot 6) - \frac{2}{y - 4} ((y + 2) (y - 4) (y + 6)) = \frac{6}{y + 6} ((y + 2) (y - 4) (y + 6))$

Bước 2.2.1.3.1.3

Nhân $- 4$ với $6$ .

$4 (y^{2} + 6 y - 4 y - 24) - \frac{2}{y - 4} ((y + 2) (y - 4) (y + 6)) = \frac{6}{y + 6} ((y + 2) (y - 4) (y + 6))$

Bước 2.2.1.3.2

Trừ $4 y$ khỏi $6 y$ .

$4 (y^{2} + 2 y - 24) - \frac{2}{y - 4} ((y + 2) (y - 4) (y + 6)) = \frac{6}{y + 6} ((y + 2) (y - 4) (y + 6))$

Bước 2.2.1.4

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$4 y^{2} + 4 (2 y) + 4 \cdot - 24 - \frac{2}{y - 4} ((y + 2) (y - 4) (y + 6)) = \frac{6}{y + 6} ((y + 2) (y - 4) (y + 6))$

Bước 2.2.1.5

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1.5.1

Nhân $2$ với $4$ .

$4 y^{2} + 8 y + 4 \cdot - 24 - \frac{2}{y - 4} ((y + 2) (y - 4) (y + 6)) = \frac{6}{y + 6} ((y + 2) (y - 4) (y + 6))$

Bước 2.2.1.5.2

Nhân $4$ với $- 24$ .

$4 y^{2} + 8 y - 96 - \frac{2}{y - 4} ((y + 2) (y - 4) (y + 6)) = \frac{6}{y + 6} ((y + 2) (y - 4) (y + 6))$

Bước 2.2.1.6

Triệt tiêu thừa số chung $y - 4$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1.6.1

Di chuyển dấu âm đầu tiên trong $- \frac{2}{y - 4}$ vào tử số.

$4 y^{2} + 8 y - 96 + \frac{- 2}{y - 4} ((y + 2) (y - 4) (y + 6)) = \frac{6}{y + 6} ((y + 2) (y - 4) (y + 6))$

Bước 2.2.1.6.2

Đưa $y - 4$ ra ngoài $(y + 2) (y - 4) (y + 6)$ .

$4 y^{2} + 8 y - 96 + \frac{- 2}{y - 4} ((y - 4) ((y + 2) (y + 6))) = \frac{6}{y + 6} ((y + 2) (y - 4) (y + 6))$

Bước 2.2.1.6.3

Triệt tiêu thừa số chung.

$4 y^{2} + 8 y - 96 + \frac{- 2}{y - 4} ((y - 4) ((y + 2) (y + 6))) = \frac{6}{y + 6} ((y + 2) (y - 4) (y + 6))$

Bước 2.2.1.6.4

Viết lại biểu thức.

$4 y^{2} + 8 y - 96 - 2 ((y + 2) (y + 6)) = \frac{6}{y + 6} ((y + 2) (y - 4) (y + 6))$

Bước 2.2.1.7

Khai triển $(y + 2) (y + 6)$ bằng cách sử dụng Phương pháp FOIL.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1.7.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$4 y^{2} + 8 y - 96 - 2 (y (y + 6) + 2 (y + 6)) = \frac{6}{y + 6} ((y + 2) (y - 4) (y + 6))$

Bước 2.2.1.7.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$4 y^{2} + 8 y - 96 - 2 (y \cdot y + y \cdot 6 + 2 (y + 6)) = \frac{6}{y + 6} ((y + 2) (y - 4) (y + 6))$

Bước 2.2.1.7.3

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$4 y^{2} + 8 y - 96 - 2 (y \cdot y + y \cdot 6 + 2 y + 2 \cdot 6) = \frac{6}{y + 6} ((y + 2) (y - 4) (y + 6))$

Bước 2.2.1.8

Rút gọn và kết hợp các số hạng đồng dạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1.8.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1.8.1.1

Nhân $y$ với $y$ .

$4 y^{2} + 8 y - 96 - 2 (y^{2} + y \cdot 6 + 2 y + 2 \cdot 6) = \frac{6}{y + 6} ((y + 2) (y - 4) (y + 6))$

Bước 2.2.1.8.1.2

Di chuyển $6$ sang phía bên trái của $y$ .

$4 y^{2} + 8 y - 96 - 2 (y^{2} + 6 \cdot y + 2 y + 2 \cdot 6) = \frac{6}{y + 6} ((y + 2) (y - 4) (y + 6))$

Bước 2.2.1.8.1.3

Nhân $2$ với $6$ .

$4 y^{2} + 8 y - 96 - 2 (y^{2} + 6 y + 2 y + 12) = \frac{6}{y + 6} ((y + 2) (y - 4) (y + 6))$

Bước 2.2.1.8.2

Cộng $6 y$ và $2 y$ .

$4 y^{2} + 8 y - 96 - 2 (y^{2} + 8 y + 12) = \frac{6}{y + 6} ((y + 2) (y - 4) (y + 6))$

Bước 2.2.1.9

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$4 y^{2} + 8 y - 96 - 2 y^{2} - 2 (8 y) - 2 \cdot 12 = \frac{6}{y + 6} ((y + 2) (y - 4) (y + 6))$

Bước 2.2.1.10

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1.10.1

Nhân $8$ với $- 2$ .

$4 y^{2} + 8 y - 96 - 2 y^{2} - 16 y - 2 \cdot 12 = \frac{6}{y + 6} ((y + 2) (y - 4) (y + 6))$

Bước 2.2.1.10.2

Nhân $- 2$ với $12$ .

$4 y^{2} + 8 y - 96 - 2 y^{2} - 16 y - 24 = \frac{6}{y + 6} ((y + 2) (y - 4) (y + 6))$

Bước 2.2.2

Rút gọn bằng cách cộng các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.2.1

Trừ $2 y^{2}$ khỏi $4 y^{2}$ .

$2 y^{2} + 8 y - 96 - 16 y - 24 = \frac{6}{y + 6} ((y + 2) (y - 4) (y + 6))$

Bước 2.2.2.2

Trừ $16 y$ khỏi $8 y$ .

$2 y^{2} - 8 y - 96 - 24 = \frac{6}{y + 6} ((y + 2) (y - 4) (y + 6))$

Bước 2.2.2.3

Trừ $24$ khỏi $- 96$ .

$2 y^{2} - 8 y - 120 = \frac{6}{y + 6} ((y + 2) (y - 4) (y + 6))$

Bước 2.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1

Triệt tiêu thừa số chung $y + 6$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1.1

Đưa $y + 6$ ra ngoài $(y + 2) (y - 4) (y + 6)$ .

$2 y^{2} - 8 y - 120 = \frac{6}{y + 6} ((y + 6) ((y + 2) (y - 4)))$

Bước 2.3.1.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$2 y^{2} - 8 y - 120 = \frac{6}{y + 6} ((y + 6) ((y + 2) (y - 4)))$

Bước 2.3.1.3

Viết lại biểu thức.

$2 y^{2} - 8 y - 120 = 6 ((y + 2) (y - 4))$

Bước 2.3.2

Khai triển $(y + 2) (y - 4)$ bằng cách sử dụng Phương pháp FOIL.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.2.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$2 y^{2} - 8 y - 120 = 6 (y (y - 4) + 2 (y - 4))$

Bước 2.3.2.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$2 y^{2} - 8 y - 120 = 6 (y \cdot y + y \cdot - 4 + 2 (y - 4))$

Bước 2.3.2.3

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$2 y^{2} - 8 y - 120 = 6 (y \cdot y + y \cdot - 4 + 2 y + 2 \cdot - 4)$

Bước 2.3.3

Rút gọn và kết hợp các số hạng đồng dạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.3.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.3.1.1

Nhân $y$ với $y$ .

$2 y^{2} - 8 y - 120 = 6 (y^{2} + y \cdot - 4 + 2 y + 2 \cdot - 4)$

Bước 2.3.3.1.2

Di chuyển $- 4$ sang phía bên trái của $y$ .

$2 y^{2} - 8 y - 120 = 6 (y^{2} - 4 \cdot y + 2 y + 2 \cdot - 4)$

Bước 2.3.3.1.3

Nhân $2$ với $- 4$ .

$2 y^{2} - 8 y - 120 = 6 (y^{2} - 4 y + 2 y - 8)$

Bước 2.3.3.2

Cộng $- 4 y$ và $2 y$ .

$2 y^{2} - 8 y - 120 = 6 (y^{2} - 2 y - 8)$

Bước 2.3.4

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$2 y^{2} - 8 y - 120 = 6 y^{2} + 6 (- 2 y) + 6 \cdot - 8$

Bước 2.3.5

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.5.1

Nhân $- 2$ với $6$ .

$2 y^{2} - 8 y - 120 = 6 y^{2} - 12 y + 6 \cdot - 8$

Bước 2.3.5.2

Nhân $6$ với $- 8$ .

$2 y^{2} - 8 y - 120 = 6 y^{2} - 12 y - 48$

Bước 3

Giải phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Di chuyển tất cả các số hạng chứa $y$ sang vế trái của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1.1

Trừ $6 y^{2}$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$2 y^{2} - 8 y - 120 - 6 y^{2} = - 12 y - 48$

Bước 3.1.2

Cộng $12 y$ cho cả hai vế của phương trình.

$2 y^{2} - 8 y - 120 - 6 y^{2} + 12 y = - 48$

Bước 3.1.3

Trừ $6 y^{2}$ khỏi $2 y^{2}$ .

$- 4 y^{2} - 8 y - 120 + 12 y = - 48$

Bước 3.1.4

Cộng $- 8 y$ và $12 y$ .

$- 4 y^{2} + 4 y - 120 = - 48$

Bước 3.2

Cộng $48$ cho cả hai vế của phương trình.

$- 4 y^{2} + 4 y - 120 + 48 = 0$

Bước 3.3

Cộng $- 120$ và $48$ .

$- 4 y^{2} + 4 y - 72 = 0$

Bước 3.4

Đưa $- 4$ ra ngoài $- 4 y^{2} + 4 y - 72$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.1

Đưa $- 4$ ra ngoài $- 4 y^{2}$ .

$- 4 y^{2} + 4 y - 72 = 0$

Bước 3.4.2

Đưa $- 4$ ra ngoài $4 y$ .

$- 4 y^{2} - 4 (- y) - 72 = 0$

Bước 3.4.3

Đưa $- 4$ ra ngoài $- 72$ .

$- 4 y^{2} - 4 (- y) - 4 \cdot 18 = 0$

Bước 3.4.4

Đưa $- 4$ ra ngoài $- 4 (y^{2}) - 4 (- y)$ .

$- 4 (y^{2} - y) - 4 \cdot 18 = 0$

Bước 3.4.5

Đưa $- 4$ ra ngoài $- 4 (y^{2} - y) - 4 (18)$ .

$- 4 (y^{2} - y + 18) = 0$

Bước 3.5

Chia mỗi số hạng trong $- 4 (y^{2} - y + 18) = 0$ cho $- 4$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.5.1

Chia mỗi số hạng trong $- 4 (y^{2} - y + 18) = 0$ cho $- 4$ .

$\frac{- 4 (y^{2} - y + 18)}{- 4} = \frac{0}{- 4}$

Bước 3.5.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.5.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $- 4$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.5.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{- 4 (y^{2} - y + 18)}{- 4} = \frac{0}{- 4}$

Bước 3.5.2.1.2

Chia $y^{2} - y + 18$ cho $1$ .

$y^{2} - y + 18 = \frac{0}{- 4}$

Bước 3.5.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.5.3.1

Chia $0$ cho $- 4$ .

$y^{2} - y + 18 = 0$

Bước 3.6

Sử dụng công thức bậc hai để tìm các đáp án.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Bước 3.7

Thay các giá trị $a = 1$ , $b = - 1$ , và $c = 18$ vào công thức bậc hai và giải tìm $y$ .

$\frac{1 \pm \sqrt{{(- 1)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 18)}}{2 \cdot 1}$

Bước 3.8

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.8.1

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.8.1.1

Nâng $- 1$ lên lũy thừa $2$ .

$y = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1 \cdot 18}}{2 \cdot 1}$

Bước 3.8.1.2

Nhân $- 4 \cdot 1 \cdot 18$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.8.1.2.1

Nhân $- 4$ với $1$ .

$y = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 18}}{2 \cdot 1}$

Bước 3.8.1.2.2

Nhân $- 4$ với $18$ .

$y = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 72}}{2 \cdot 1}$

Bước 3.8.1.3

Trừ $72$ khỏi $1$ .

$y = \frac{1 \pm \sqrt{- 71}}{2 \cdot 1}$

Bước 3.8.1.4

Viết lại $- 71$ ở dạng $- 1 (71)$ .

$y = \frac{1 \pm \sqrt{- 1 \cdot 71}}{2 \cdot 1}$

Bước 3.8.1.5

Viết lại $\sqrt{- 1 (71)}$ ở dạng $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{71}$ .

$y = \frac{1 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{71}}{2 \cdot 1}$

Bước 3.8.1.6

Viết lại $\sqrt{- 1}$ ở dạng $i$ .

$y = \frac{1 \pm i \sqrt{71}}{2 \cdot 1}$

Bước 3.8.2

Nhân $2$ với $1$ .

$y = \frac{1 \pm i \sqrt{71}}{2}$

Bước 3.9

Câu trả lời cuối cùng là sự kết hợp của cả hai đáp án.

$y = \frac{1 + i \sqrt{71}}{2}, \frac{1 - i \sqrt{71}}{2}$